Информация о задаче

Задача 77905

Тема:

[

Тригонометрические неравенства

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть A — произвольный угол, B и C — острые углы. Всегда ли существует такой угол X, что

sin X = $\displaystyle {\frac{\sin B\sin C}{1-\cos A\cos B\cos C}}$ ?

(Из `` Воображаемой геометрии'' Н. И. Лобачевского).

Решение

Ответ: да, всегда. По условию cos B cos C > 0. Кроме того, sin B sin C + cos B cos C = cos(B - C) $\le$ 1 и cos A $\le$ 1. Поэтому sin B sin C $\le$ 1 - cos B cos C $\le$ 1 - cos A cos B cos C и

0 < $\displaystyle {\frac{\sin B\sin C}{1-\cos A\cos B\cos C}}$ $\displaystyle \le$ 1.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	13
Год	1950
вариант
Класс	9,10
Тур	1
задача
Номер	1