Условие
В треугольник вписана окружность. Около неё описан квадрат. Докажите, что вне
треугольника лежит меньше половины периметра квадрата.
Решение
Треугольник касается вписанной окружности в трёх точках, а квадрат касается её
в четырёх точках. Поэтому между некоторыми двумя точками касания треугольника с
окружностью лежат две точки касания квадрата с окружностью. Следовательно,
внутри треугольника лежит по крайней мере один `` уголок'' квадрата (т.е.
вершина квадрата вместе с половинами выходящих из неё сторон квадрата). Если
таких уголков будет два, то мы сразу получаем, что внутри треугольника лежит по
крайней мере половина периметра квадрата. Предположим, что такой уголок только
один, т.е. три остальных уголка хотя бы частично лежат вне треугольника
(тогда соответствующие вершины квадрата тоже лежат вне треугольника). Покажем,
что не менее трети периметра каждого из этих трёх уголков лежит внутри
треугольника. Вне треугольника лежит часть уголка, представляющая собой
прямоугольный треугольник с катетами
a и
b и гипотенузой
c. Внутри
треугольника лежат отрезки 1 -
a и 1 -
b (мы предполагаем, что длина стороны
квадрата равна 2). Ясно, что
(1 -
a) + (1 -
b) =
c,
a
c и
bc. Поэтому
a +
b2
c = 4 - 2(
a +
b), т.е.
a +
b4/3. Это означает, что вне треугольника
лежит не более 2/3 периметра уголка. Итак, внутри треугольника лежит фигура,
имеющая по крайней мере следующий периметр:
2 + 3
. 
= 4, а периметр
всего квадрата равен 8.
Источники и прецеденты использования
