Условие
В выпуклом 1950-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на
многоугольники. Возьмём среди них многоугольник с самым большим числом сторон.
Какое наибольшее число сторон он может иметь?
Решение
Ответ: 1949. Те же самые рассуждения, что и при решении задачи 1 для 7-8
классов, показывают, что полученный многоугольник имеет не более 1950 сторон,
причём если число его сторон равно 1950, то из каждой вершины исходного
многоугольника выходят ровно две диагонали, ограничивающих полученный
многоугольник. Пусть из вершины
A1 выходят две диагонали
A1Ap и
A1Aq, ограничивающие полученный многоугольник. Тогда
Ap и
Aq —
соседние вершины, поскольку иначе внутри угла
ApA1Aq была бы диагональ,
разрезающая полученный многоугольник. Действительно, вершину, лежащую между
Ap и
Aq, нужно было бы соединить с вершиной, лежащей между
A1 и
Ap
или между
A1 и
Aq.
Изменив при необходимости направление
нумерации вершин, можно считать, что
q =
p + 1 и
p
1950/2 = 975. Если
исключить диагональ
A1Ap + 1, то любая другая диагональ, ограничивающая
полученный многоугольник, соединяет одну из вершин с номером от 2 до
p с
некоторой вершиной. Поэтому всего у полученного многоугольника может быть не
более
1 + 974
. 2 = 1949 сторон. Чтобы получить пример 1950-угольника, при
разрезании которого получается 1949-угольник, можно взять правильный
1949-угольник и отрезать от него маленький треугольник, т.е. вместо вершины
A1 взять две вершины
A1' и
A1950, расположенные на сторонах
A1A2
и
A1A1949 вблизи вершины
A1.
Источники и прецеденты использования
