Задача 77929

Тема:    [ Необычные построения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На плоскости даны три точки A, B, C и три угла D, E, F, меньшие 180^o и в сумме равные 360^o. Построить с помощью линейки и транспортира точку O плоскости такую, что AOB = D, BOC = E, COA = F (с помощью транспортира можно измерять и откладывать углы).

Решение

Если требуемая точка O существует, то она должны лежать внутри треугольника ABC. В таком случае должны выполняться неравенства D < C, E < A, F < B. Мы будем предполагать, что эти неравенства выполняются. Построим внешним образом на стороне AB треугольника ABC треугольник ABC₁ так, что C₁AB = 180^o - E и C₁BA = 180^o - F. Аналогично построим точки A₁ и B₁ так, что A₁BC = 180^o - F, A₁CB = 180^o - D, B₁CA = 180^o - D и B₁AC = 180^o - E. Покажем, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке, причём эта точка — искомая точка O. Пусть O₁ — точка пересечения описанных окружностей треугольников AB₁C и A₁BC. Тогда AO₁C = F и BO₁C = E. Из этого легко выводится, что описанная окружность треугольника ABC₁ тоже проходит через точку O₁ и AO₁B = D. Значит, AO₁B₁ = ACB₁ = 180^o - D = BCA₁ = BO₁A₁. Поэтому прямые AA₁ и BB₁ пересекаются в точке O₁. Аналогично доказывается, что прямая CC₁ проходит через точку O₁. Уже проведённые вычисления углов показывают, что O₁ — это искомая точка O.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	14
Год	1951
вариант
Класс	7,8
Тур	2
задача
Номер	2