ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77932
Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При делении многочлена  x1951 – 1  на  x4 + x³ + 2x² + x + 1  получается частное и остаток. Найти в частном коэффициент при x14.


Решение

Равенства  x4 + x³ + 2x² + x + 1 = (x² + 1)(x² + x + 1)  и  x12 – 1 = (x – 1)(x² + x + 1)(x³ + 1)(x² + 1)(x4x² + 1)  показывают, что

(остальные коэффициенты в знаменателе несущественны). Поэтому поделить многочлен  x1951 – 1  на  x4 + x³ + 2x² + x + 1  – это то же самое, что сначала поделить его на  x12 – 1,  а потом умножить на  x8x7 – ... .  Но   = x1939 + x1927 + x1915 + ... + x19 + x7 + ,   поэтому искомый коэффициент равен коэффициенту при x14 в произведении   x1939 + ... + x19 + x7 + (x8x7 – ...).


Ответ

–1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 14
Год 1951
вариант
Класс 7,8
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .