Информация о задаче

Задача 77937

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Неравенства для углов треугольника	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В $\Delta$ ABC вписана окружность, которая касается его сторон в точках L, M и N. Докажите, что $\Delta$ LMN всегда остроугольный (независимо от вида $\Delta$ ABC).

Решение

Пусть L, M и N лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Треугольники BNL и CLM равнобедренные; углы при их основаниях равны ${\frac{1}{2}}$ (180^o - $\angle$ B) и ${\frac{1}{2}}$ (180^o - $\angle$ C). Поэтому $\angle$ NLM = ${\frac{1}{2}}$ (180^o - $\angle$ A) < 90^o. Аналогично доказывается, что остальные углы треугольника NLM острые.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	15
Год	1952
вариант
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	1