Информация о задаче

Задача 77947

Темы:	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

$\Delta$ ABC разбит прямой BD на два треугольника. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в $\Delta$ ABD и $\Delta$ DBC, больше радиуса окружности, вписанной в $\Delta$ ABC.

Решение

Пусть r, r₁ и r₂ — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, ABD и BCD, p, p₁ и p₂ — их полупериметры, S, S₁ и S₂ — их площади. Тогда S = S₁ + S₂, S = pr, S₁ = p₁r₁ и S₂ = p₂r₂. Поэтому r = ${\frac{p_1}{p}}$ r₁ + ${\frac{p_2}{p}}$ r₂. Но BD < BC + CD, поэтому p₁ < p; аналогично p₂ < p. Следовательно, r < r₁ + r₂.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	15
Год	1952
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	4