Задача 77965

Тема:    [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 4 Классы: 11

Условие

Докажите, что сумма

cos 32x + a₃₁cos 31x + a₃₀cos 30x + ... + a₁cos x

принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Решение

Предположим, что сумма

cos 32x + a₃₁cos 31x + a₃₀cos 30x + ... + a₁cos x

принимает только положительные значения при всех x. Заменив x на x + π, получим, что выражение

cos 32x - a₃₁cos 31x + a₃₀cos 30x - ... + a₂cos 2x - a₁cos x

принимает положительные значения при всех x. Сложив эти выражения, получим, что сумма

cos 32x + a₃₀cos 30x + ... + a₄cos 4x + a₂cos 2x

принимает положительные значения при всех x. Затем повторим те же самые рассуждения, последовательно заменяя x на x + , x + , x + , x + . В результате получим, что cos 32x принимает положительные значения при всех x. Но при x = π/32 выражение cos 32x принимает значение -1. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	15
Год	1952
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	1