Задача 77966

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Квадратные уравнения. Формула корней ] [ Теорема Виета ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что ни при каком целом A многочлен  3x²ⁿ + Axⁿ + 2  не делится на многочлен  2x^2m + Ax^m + 3.

Решение

  Предположим, что многочлен  3x²ⁿ + Axⁿ + 2  делится на многочлен  2x^2m + Ax^m + 3.  Тогда каждый корень многочлена  2x^2m + Ax^m + 3  является также корнем многочлена  3x²ⁿ + Axⁿ + 2.  Если x_i – корень многочлена  2x^2m + Ax^m + 3,  то     Можно считать, что     Пусть     – корни квадратного трёхчлена 3x² + Ax + 2.
  Рассмотрим два случая.
  1)  A² – 24 > 0.  В этом случае   |α₁| ≠ |α₂|,  поэтому     С одной стороны,  
а с другой,     Противоречие.
  2)  A² – 24 < 0.  В этом случае     Поэтому, с одной стороны,  
а с другой,     Снова противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	15
Год	1952
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	3