ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78002
Тема:    [ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 3+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найти все решения системы уравнений   x(1 – 2n) + y(1 – 2n–1) + z(1 – 2n–2) = 0,   где  n = 1, 2, 3, 4, ...


Решение

  Указанная бесконечная система уравнений эквивалентна системе двух уравнений:  x + y + z = 4x + 2y + z = 0.
  Действительно, если мы вычтем из первого уравнения второе, умноженное на 2n–2, то получим n-е уравнение исходной системы.
  С другой стороны, из первых двух уравнений исходной системы  x(1 – ½) + y(1 – ¼) + z(1 – ⅛) = 0,  x(1 – ¼) + y(1 – ⅛) + z(1 – 1/16) = 0  следуют указанные два уравнения. Действительно, вычтя из первого уравнения второе, получим  x/4 + y/8 + z/16 = 0.  Прибавив это ко второму уравнению, получим
x + y + z = 0.


Ответ

(t, – 3t, 2t)  (t – произвольное число).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 17
Год 1954
вариант
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .