Задача 78005

Темы:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Дано 100 чисел a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀₀, удовлетворяющих условиям:
  a₁ – 3a₂ + 2a₃ ≥ 0,
  a₂ – 3a₃ + 2a₄ ≥ 0,
  a₃ – 3a₄ + 2a₅ ≥ 0,
    ...,
  a₉₉ – 3a₁₀₀ + 2a₁ ≥ 0,
  a₁₀₀ – 3a₁ + 2a₂ ≥ 0.
Доказать, что все числа a_i равны между собой.

Решение

Сложим все неравенства. Коэффициент при a_k окажется равным  1 – 3 + 2 = 0.  Таким образом, у нас есть набор неотрицательных чисел  a₁ – 3a₂ + 2a₃, ...,  сумма которых равна 0. Значит, каждое из чисел равно 0, то есть у нас есть система не неравенств, а уравнений. Эти уравнения удобно переписать в виде
a₁ – a₂ = 2(a₂ – a₃),  a₂ – a₃ = 2(a₃ – a₄),  ...,  a₁₀₀ – a₁ = 2(a₁ – a₂).  Теперь последовательно получаем  a₁ – a₂ = 2(a₂ – a₃) = 4(a₃ – a₄ ) = ... = 2¹⁰⁰(a₁ – a₂).  Это возможно лишь при  a₁ = a₂.  Но тогда  a₂ = a₃,  a₃ = a₄,  ...,  a₁₀₀ = a₁.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	3