Условие
Дан треугольник
ABC. Пусть
A1,
B1,
C1 — точки пересечения прямых
AS,
BS,
CS соответственно со сторонами
BC,
CA,
AB треугольника, где
S — произвольная внутренняя точка треугольника
ABC. Доказать, что, по
крайней мере, в одном из полученных четырёхугольников
AB1SC1,
C1SA1B,
A1SB1C углы при вершинах
C1,
B1, или
C1,
A1, или
A1,
B1
&8212; одновременно оба неострые.
Решение
Предположим, что в каждом из полученных четырёхугольников
AB1SC1,
C1SA1B,
A1SB1C по крайней мере один из углов при каждой паре вершин
C1 и
B1,
C1 и
A1,
A1 и
B1 острый. Пусть, например, в
четырёхугольнике
AB1SC1 угол при вершине
C1 острый. Тогда в
четырёхугольнике
C1SA1B угол при вершине
C1 тупой, поэтому угол при
вершине
A1 должен быть острым. Тогда в четырёхугольнике
A1SB1C угол при
вершине
A1 тупой, поэтому угол при вершине
B1 должен быть острым.
Пусть
A2,
B2,
C2 — основания высот опущенных из вершин
A,
B,
C на стороны треугольника. Тогда точка
C1 должна лежать на отрезке
BC2,
точка
A1 — на отрезке
CA2, точка
B1 — на отрезке
AB2. Но в
таком случае отрезки
AA1,
BB1 и
CC1 не могут пересекаться в одной
точке, поскольку отрезки
AA2,
BB2 и
CC2 пересекаются в одной точке
(точке пересечения высот). Приходим к противоречию.
Источники и прецеденты использования