ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78006
Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Пусть A1, B1, C1 — точки пересечения прямых AS, BS, CS соответственно со сторонами BC, CA, AB треугольника, где S — произвольная внутренняя точка треугольника ABC. Доказать, что, по крайней мере, в одном из полученных четырёхугольников AB1SC1, C1SA1B, A1SB1C углы при вершинах C1, B1, или C1, A1, или A1, B1 &8212; одновременно оба неострые.

Решение

Предположим, что в каждом из полученных четырёхугольников AB1SC1, C1SA1B, A1SB1C по крайней мере один из углов при каждой паре вершин C1 и B1, C1 и A1, A1 и B1 острый. Пусть, например, в четырёхугольнике AB1SC1 угол при вершине C1 острый. Тогда в четырёхугольнике C1SA1B угол при вершине C1 тупой, поэтому угол при вершине A1 должен быть острым. Тогда в четырёхугольнике A1SB1C угол при вершине A1 тупой, поэтому угол при вершине B1 должен быть острым. Пусть A2, B2, C2 — основания высот опущенных из вершин A, B, C на стороны треугольника. Тогда точка C1 должна лежать на отрезке BC2, точка A1 — на отрезке CA2, точка B1 — на отрезке AB2. Но в таком случае отрезки AA1, BB1 и CC1 не могут пересекаться в одной точке, поскольку отрезки AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке (точке пересечения высот). Приходим к противоречию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 17
Год 1954
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 4
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 17
Год 1954
вариант
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .