ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78017
Темы:    [ Геометрические неравенства ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны четыре прямые m1, m2, m3, m4, пересекающиеся в одной точке O. Через произвольную точку A1 прямой m1 проводим прямую, параллельную прямой m4, до пересечения с прямой m2 в точке A2, через A2 проводим прямую, параллельную m1, до пересечения с m3 в точке A3, через A3 проводим прямую, параллельную m2, до пересечения с m4 в точке A4 и через точку A4 проводим прямую, параллельную m3, до пересечения с m1 в точке B. Доказать, что OB$ \le$$ {\frac{OA_1}{4}}$ (см. рис.).

Решение

Пусть $ \vec{a}\,$ = $ \overrightarrow{OA_1}$, $ \vec{b}\,$ = $ \overrightarrow{OA_2}$, $ \vec{c}\,$ = $ \overrightarrow{OA_3}$, $ \vec{d}\,$ = $ \overrightarrow{OA_4}$. Выразим эти векторы через e1 = $ \vec{a}\,$ и e2 = $ \vec{d}\,$. В результате получим

$\displaystyle \vec{b}\,$ = e1 + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$e2,
$\displaystyle \vec{c}\,$ = $\displaystyle \vec{b}\,$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{}$e1 = (1 - $\displaystyle \lambda_{2}^{}$)e1 + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$e2,
e2 = $\displaystyle \vec{c}\,$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{}$$\displaystyle \vec{b}\,$ = (1 - $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{}$)e1 + ($\displaystyle \lambda_{1}^{}$ - $\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{3}^{}$)e2.

Из последнего равенства вытекают соотношения 1 - $ \lambda_{2}^{}$ = $ \lambda_{3}^{}$ и $ \lambda_{1}^{}$ - $ \lambda_{1}^{}$$ \lambda_{3}^{}$ = 1. Наконец, пусть - $ \mu$e1 = $ \overrightarrow{OB}$. Тогда - $ \mu$e1 = e2 - $ \lambda_{4}^{}$$ \vec{c}\,$ = - $ \lambda_{4}^{}$(1 - $ \lambda_{1}^{}$) - $ \lambda_{4}^{}$$ \lambda_{1}^{}$e2, поэтому $ \mu$ = $ \lambda_{4}^{}$(1 - $ \lambda_{1}^{}$) и $ \lambda_{4}^{}$$ \lambda_{1}^{}$ = 1. Учитывая все эти соотношения, получаем $ \mu$ = $ {\frac{\lambda_3}{\lambda_1}}$ = $ \lambda_{3}^{}$(1 - $ \lambda_{3}^{}$)$ \le$$ {\frac{1}{4}}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 17
Год 1954
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 2
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 17
Год 1954
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 2
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 17
Год 1954
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .