Условие
Даны четыре прямые
m1,
m2,
m3,
m4, пересекающиеся в одной точке
O. Через произвольную точку
A1 прямой
m1 проводим прямую, параллельную
прямой
m4, до пересечения с прямой
m2 в точке
A2, через
A2 проводим
прямую, параллельную
m1, до пересечения с
m3 в точке
A3, через
A3
проводим прямую, параллельную
m2, до пересечения с
m4 в точке
A4 и через точку
A4 проводим прямую, параллельную
m3, до пересечения
с
m1 в точке
B.
Доказать, что
OB (см. рис.).
Решение
Пусть
=
,
=
,
=
,
=
. Выразим эти векторы через
e1 =
и
e2 =
. В результате получим
|
= e1 + e2, |
|
= - e1 = (1 - )e1 + e2, |
e2 |
= - = (1 - - )e1 + ( - )e2. |
Из последнего равенства вытекают соотношения
1 -
=
и
-
= 1. Наконец, пусть
-
e1 =
. Тогда
-
e1 =
e2 -
= -
(1 -
) -
e2,
поэтому
=
(1 -
) и
= 1. Учитывая все эти
соотношения, получаем
=
=
(1 -
)
.
Источники и прецеденты использования