Задача 78018

Тема:    [ Системы алгебраических неравенств ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Сто положительных чисел C₁, C₂, ..., C₁₀₀ удовлетворяют условиям  
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

Решение

  Можно считать, что  C₁ ≥ C₂ ≥ ... ≥ C₁₀₀ > 0.  Если  C₁ ≥ 100,  то  C₁ + C₂ + C₃ > 100.
  Пусть  C₁ < 100. Тогда  100 – C₁ > 0,  100 – C₂ > 0,  C₁ – C₂ ≥ 0  и  C₁ – C₃ ≥ 0,  поэтому
100(C₁ + C₂ + C₃) ≥ 100(C₁ + C₂ + C₃) – (100 – C₁)(C₁ – C₃) – (100 – C₂)(C₂ – C₃) =
    =  
  Следовательно,  C₁ + C₂ + C₃ > 100.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	3