|
|
 |
Условие
Известно, что модули всех корней уравнений x² + Ax + B = 0, x² + Cx + D = 0 меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения
x² + ½ (A + C)x + ½ (B + D)x = 0 также меньше единицы. A, B, C, D – действительные числа.
Решение
Пусть |x| ≥ 1. Тогда x² + Ax + B > 0 и x² + Cx + D > 0. Поэтому и полусумма x² + ½ (A + C)x + ½ (B + D)x этих чисел положительна.Замечания
1. Фактически мы доказали, что действительные корни последнего уравнения (если они есть) по модулю меньше единицы. Если в задаче речь шла о действительных корнях, этого достаточно. Но и модули (сопряженных) комплексных корней этого уравнения (если действительных нет) также меньше единицы. Это следует из того, что его свободный член, очевидно, по модулю меньше единицы.
2. Нетрудно проверить, что
модули обоих (возможно, комплексных) корней трёхчлена x² + px + q меньше 1 ⇔ точка (p, q) на фазовой плоскости принадлежит
внутренности треугольника с вершинами (±2, 1), (0, – 1).
Таким образом, утверждение задачи следует также из выпуклости этого множества.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 6 |
| Название | Многочлены |
| Тема | Многочлены |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Квадратный трехчлен |
| Тема | Неизвестная тема |
| задача | |
| Номер | 06.029 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 17 |
| Год | 1954 |
| вариант | |
| Класс | 10 |
| Тур | 2 |
| задача | |
| Номер | 4 |
