Информация о задаче

Задача 78035

Темы:	[	ГМТ с ненулевой площадью	]
Темы:	[	Перенос помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Найти геометрическое место середин отрезков с концами на двух различных непересекающихся окружностях, лежащих одна вне другой.

Решение

Пусть S₁ и S₂ — данные окружности, O₁ и O₂ — их центры. Рассмотрим окружность S₂', которая получается из окружности S₂ переносом на вектор $\overrightarrow{O_2O_1}$ ; центр этой окружности совпадает с центром окружности S₁. Пусть A₁ — точка окружности S₁, A₂ и A₂' -- точки окружностей S₂ и S₂', соответствующие друг другу. Если M — середина отрезка A₁A₂, а M' — середина отрезка A₁A₂', то $\overrightarrow{MM'}$ = ${\frac{1}{2}}$ $\overrightarrow{O_1O_2}$ . Поэтому можно рассмотреть случай, когда даны две концентрические окружности: полученное ГМТ нужно просто сдвинуть на вектор ${\frac{1}{2}}$ $\overrightarrow{O_1O_2}$ . Пусть O — общий центр двух окружностей радиусов R и r, причём R $\ge$ r. Фиксируем на окружности радиуса r точку A и рассмотрим середины всех отрезков AB, где точка B перемещается по окружности радиуса R. Они образуют окружность, причём её сама близкая к O точка находится на расстоянии ${\frac{R-r}{2}}$ , а самая далёкая — на расстоянии ${\frac{R+r}{2}}$ . Если точка A будет двигаться по всей окружности, то мы получим кольцо с внутренним радиусом ${\frac{R-r}{2}}$ и внешним радиусом ${\frac{R+r}{2}}$ (если R = r, то получается не кольцо, а круг).

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	18
Год	1955
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	2