Задача 78052

Темы:    [ Подобные треугольники ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Дан треугольник ABC. На сторонах AB, BC, CA взяты соответственно точки C₁, A₁, B₁ так, что  AC₁ : C₁B = BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = 1 : n.  На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ треугольника A₁B₁C₁ взяты соответственно точки C₂, A₂, B₂ так, что  A₁C₂ : C₂B₁ = B₁A₂ : A₂C₁ = C₁B₂ : B₂A₁ = n : 1.  Доказать, что  A₂C₂ || AC,  C₂B₂ || CB,   B₂A₂ || BA.

Решение

  Пусть     Тогда  
  В полученном выражении коэффициенты при a и c равны. Кроме того,  a + b + c = 0,  поэтому вектор пропорционален b, то есть   A₂C₂ || AC.
  Для остальных прямых доказательство аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	18
Год	1955
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	1