Задача 78059

Тема:    [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Условие

Дан треугольник A₀B₀C₀. На его сторонах A₀B₀, B₀C₀, C₀A₀ взяты точки C₁, A₁, B₁ соответственно. На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ треугольника A₁B₁C₁ взяты соответственно точки C₂, A₂, B₂, и вообще, на сторонах A_nB_n, B_nC_n, C_nA_n, треугольника A_nB_nC_n взяты точки C_{n + 1}, A_{n + 1}, B_{n + 1}. Известно, что

= = = k, = = =

и вообще,

Доказать, что треугольник ABC, образованный пересечением прямых A₀A₁, B₀B₁, C₀C₁, содержится в треугольнике A_nB_nC_n при любом n.

Решение

То, что треугольник ABC содержится в треугольнике A₁B₁C₁, очевидно. Покажем, что точки A₂, B₂, C₂ являются точками пересечения сторон треугольника A₁B₁C₁ с прямыми A₀A₁, B₀B₁, C₀C₁. Поместим в точки A₀, B₀, C₀ массы 1 + k³, k, k². Центром масс этой системы является точка пересечения отрезков A₀A₁ и B₁C₁. Действительно, C₁ — центр масс точек A₀ и B₀ с массами 1 и k, B₁ — центр масс точек A₀ и C₀ с массами k³ и k², A₁ — центр масс точек B₀ и C₀ с массами k и k². Таким образом, если A' — точка пересечения отрезков A₀A₁ и B₁C₁, то B₁A' : A'C₁ = (1 + k) : (k² + k³) = 1 : k², поэтому A' = A₂. Для точек B₂ и C₂ доказательство аналогично. Доказанный результат означает следующее. Для треугольника A₁B₁C₁ мы делаем то же самое, что и для треугольника A₀B₀C₀, лишь с заменой коэффициента k на 1/k²; треугольник ABC при этом остаётся тем же самым. Полученный треугольник A₂B₂C₂ снова содержит треугольник ABC и т.д.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	18
Год	1955
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	5