Задача 78103
|
|
 |
Условие
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точка M – середина диагонали AC, точка N – середина диагонали BD. Прямая MN пересекает стороны AB и CD в точках M' и N'. Доказать, что если MM' = NN', то BC || AD.
Решение
Предположим, что прямые AD и BC не параллельны. Тогда MN не параллельна BC (в противном случае MN содержит средние линии треугольников BCD и ABD, то есть BC || AD).
Пусть M'', K, N'' – середины сторон AB, BC, CD
соответственно. Как видно из сказанного выше, M' ≠ M'' и N' ≠ N''. Ясно, что = ½
=
и
=
. Поэтому M'M'' || N'N''. Следовательно, KM || AB || CD || KN, то есть M = N. Противоречие (из условия ясно, что эти точки различны).
