Информация о задаче

Задача 78115

Тема:

[

Экстремальные свойства треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике известны две стороны a и b. Какой должна быть третья сторона, чтобы наименьший угол треугольника имел наибольшую величину?

Решение

Пусть для определённости a ≥ b. Тогда наименьший угол треугольника — это угол B или угол C. Рассмотрим полуокружность S радиуса a. Пусть C — центр этой полуокружности, а B — точка на продолжении диаметра, для которой CB = a. Проведём из точки B касательную BA₁ к полуокружности S. Если $\angle$ A₁CB ≥ $\angle$ A₁BC, то наименьший угол треугольника будет наибольшим, если вершина A занимает положение A₁. Действительно, угол B всегда не превосходит угла A₁BC. Неравенство $\angle$ A₁CB ≥ $\angle$ A₁BC эквивалентно тому, что b ≤ c = $\sqrt{a^2-b^2}$ , т.е. a ≥ $\sqrt{2}$ b. Таким образом, если a ≥ $\sqrt{2}$ b, то третья сторона должна быть равна $\sqrt{a^2-b^2}$ .
Предположим теперь, что a < $\sqrt{2}$ b. Тогда, в частности, a < 2b, поэтому серединный перпендикуляр к отрезку BC пересекает полуокружность в некоторой точке A₂. Наименьший угол треугольника будет наибольшим, если вершина A занимает положение A₂. Действительно, предположим сначала, что точка A движется по полуокружности из положения A₂ так, что её проекция на BC движется к точке B. Тогда наименьшим будет угол C, и он будет убывать. Предположим теперь, что точка A движется так, что что её проекция движется от точки B. Тогда наименьшим будет угол B, и он будет тоже убывать. (Это следует из того, что в рассматриваемой ситуации $\angle$ CBA₂ ≤ $\angle$ CBA₁). Таким образом, если b ≤ a < $\sqrt{2}$ b, то третья сторона должна быть равна b.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	20
Год	1957
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	1