Условие
Дан четырёхугольник
ABCD. Вписать в него прямоугольник с заданными
направлениями сторон.
Решение
Возьмём на прямых
AB и
CD точки
E и
F так, чтобы
прямые
BF и
CE имели заданные направления. Рассмотрим
всевозможные прямоугольники
PQRS с заданными направлениями сторон,
вершины
P и
R которых лежат на лучах
BA и
CD, а
вершина
Q — на стороне
BC. Докажем, что геометрическим
местом вершин
S является отрезок
EF. В самом деле,
=
=
=
, т. е.
точка
S лежит на отрезке
EF. Обратно, если точка
S' лежит на
отрезке
EF, то проведём
S'P' ||
BF,
P'Q' ||
EC
и
Q'R' ||
BF
(
P',
Q',
R' — точки на прямых
AB,
BC,
CD). Тогда
=
=
=
, т. е.
S'P' =
Q'R' и
P'Q'R'S' — прямоугольник.
Из этого вытекает следующее построение. Строим сначала точки
E
и
F. Вершина
S является точкой пересечения отрезков
AD и
EF.
Дальнейшее построение очевидно.
Источники и прецеденты использования
