Задача 78159

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Решить в натуральных числах уравнение  x^2y–1 + (x + 1)^2y–1 = (x + 2)^2y–1.

Решение

x^2y–1 ≡ 1 (mod x + 1).  Поскольку   число  2y – 1  нечётно, то  x^2y–1 = –1 (mod x + 1).  Значит,  0 = (x + 2)^2y–1 – x^2y–1 – (x + 1)^2y–1 = 1 + 1 = 2 (mod x + 1),  то есть  x + 1 = 2.  Следовательно,  1 + 2^2y–1 = 3^2y–1  ⇔  2y – 1 = 1  ⇔  y = 1.

Ответ

x = y = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	1