Информация о задаче

Задача 78167

Тема:

[

Объем круглых тел

]

Сложность: 3+
Классы: 11

Прислать комментарий

Условие

Стороны параллелограмма равны a и b. Найти отношение объёмов тел, полученных при вращении параллелограмма вокруг стороны a и вокруг стороны b.

Решение

Ответ: ${\frac{V_a}{V_b}}$ = ${\frac{\pi a h^2_a}{\pi b h^2_b}}$ = ${\frac{b}{a}}$ . Пусть h_a — высота, опущенная из одной из вершин параллелограмма на сторону a, h_b — на сторону b. Докажем, что объём тела, полученного вращением такого параллелограмма вокруг стороны a равен объёму цилиндра с высотой a и радиусом основания h_a. Если основание высоты h_a попадает на сторону a, тогда можно разрезать исходное тело по кругу, образованному вращением этой высоты и, переставив части, получить цилиндр с высотой a и радиусом основания h_a. А значит, объём цилиндра равен объёму исходного тела вращения. Если же основание высоты попадает на продолжение стороны a, тогда разрежем исходное тело на две части конусом, получающимся при вращении меньшей из диагоналей параллелограмма. Переставив части, получим фигуру, полученную вращением вокруг стороны a параллелограмма, полученного переставлением частей исходного параллелограмма, на которые его делит меньшая диагональ. При этом основание высоты сместится на a в сторону стороны a. Такими операциями можно добиться того, чтобы высота попала на сторону. Тем самым получили, что объём тела, полученного вращением параллелограмма вокруг стороны a равен $\pi$ ah²_a, аналогично вокруг стороны b — $\pi$ bh²_b. Заметим, что площадь параллелограмма S = ah_a = bh_b. А значит, ${\frac{V_a}{V_b}}$ = ${\frac{\pi a h^2_a}{\pi b h^2_b}}$ = ${\frac{b}{a}}$ .

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	4