Условие
Дан выпуклый четырёхугольник
ABCD. Середины сторон
AB и
CD обозначим
соответственно через
K и
M, точку пересечения
AM и
DK — через
O,
точку пересечения
BM и
CK — через
P. Доказать, что площадь
четырёхугольника
MOKP равна сумме площадей треугольников
BPC и
AOD.
Решение
Пусть расстояние от точек
A,
K и
B до прямой
CD равны
h1,
h и
h2. Тогда
h =
. Пусть длина стороны
CD равна 2
a.
Тогда
SCKD =
ah,
SADM =
ah1 и
SBCM =
ah2.
Поэтому
SCKD =
SADM +
SBCM. Вычитая из обеих частей этого равенства
SPCM +
SODM, получаем требуемое.
Источники и прецеденты использования
