Условие
Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной
окружности хорду данной длины.
Решение
Покажем сначала, что общие хорды окружности
O и каждой из окружностей,
проходящих через точки
A и В, пересекаются в одной точке. Для этого
проведём через точки
A и В любую окружность
O1, пересекающую данную
окружность
O в точках
M1 и
N1, и обозначим через Р точку
пересечения прямых
M1N1 и
AB. Проведём теперь через точку
P
секущую
M2N2 к окружности
O и построим окружность
O2,
проходящую через точки
M2,
N2,
A. По известной теореме,
| PM2 . PN2 |
= PA . PB' (в окружности O2), |
(68) |
| PM2 . PN2 |
= PM1 . PN1 (в окружности O), |
(69) |
| PM1 . PN1 |
= PA . PB (в окружности O1), |
(70) |
где В' — точка пересечения прямой
AB с окружностью
O2. Отсюда
PA . PB' =
PA . PB, т. е.
PB' =
PB, и потому точки В и В'
совпадают. Ясно, что таким способом может быть построена любая окружность,
проходящая через точки
A и В и пересекающая окружность
O. В самом деле,
кроме знания точек
A и В, для определения окружности необходимо и
достаточно задания ещё одной точки. Пусть это будет одна из точек пересечения
искомой окружности с окружностью
O. По этой точке
M мы построим секущую
PMN и через точки
M,
N и
A проведём окружность. Как было показано,
она непременно пройдёт и через точку В.
Итак, мы показали, что любая окружность, проходящая через точки
A и В и
пересекающаяся с окружностью
O, имеет с
O общую секущую, проходящую через
фиксированную точку Р, которую можно построить (с помощью любой такой
окружности). Заметим теперь, что в данной окружности все хорды данной длины
лежат на одном расстоянии от центра и, значит, касаются некоторой окружности,
которую также можно построить с помощью любой такой хорды.
Построение, завершающее решение задачи, теперь очевидно: нужно из точки Р
провести касательную к вспомогательной окружности и по этой касательной
построить искомую окружность, как было описано выше.
Заметим, наконец, что в том случае, когда перпендикуляр, проведённый через
середину отрезка
AB, проходит через центр окружности
O, общие хорды
данной окружности и каждой из окружностей, проходящих через точки
A и В,
уже не будут пересекаться в одной точке, но будут все параллельны прямой
AB. В этом случае завершающее построение состоит в проведении прямой,
параллельной данной прямой
AB и касающейся вспомогательной окружности, и в
последующем построении искомой окружности по этой касательной.
(Решение из книги [#!Leman!#].)
Источники и прецеденты использования
