ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78184
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадратную таблицу N×N записаны все целые числа по следующему закону: 1 стоит на любом месте, 2 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 1, 3 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 2, и так далее. На сколько сумма чисел в столбце, содержащем N², отличается от суммы чисел в строке, содержащей 1.


Решение

  Будем обозначать клетку, находящуюся на пересечении строки a и столбца b, через  (а, b).  Каждое из чисел 1, 2, ..., N встречается в такой записи всех клеток ровно 2N раз: N раз как номер столбца и N раз как номер строки. Пусть 1 стоит в клетке  (а, х).  Номер строки, в которой стоит 2, по условию, равен номеру столбца, содержащего 1, то есть х. Значит, 2 стоит в клетке  (х, у).  Далее, 3 стоит в клетке  (у, z)  и так далее; наконец, N² стоит в некоторой клетке  (m, n).  Ясно, что номер а встречается внутри (то есть не на первом и не на последнем месте) цепочки  (а, х) → (х, у) → (у, z) → ... → (m, n)  чётное число раз. Так как при этом а стоит в начале цепочки и всего встречается чётное число (2N) раз, то этот номер должен стоять и в конце цепочки:  n = а.  Итак, строка, содержащая 1, имеет тот же номер, что и столбец, содержащий N².
  Рассмотрим любое, кроме 1 и N², число р из столбца, в котором стоит N². Следующее число, то есть  р + 1,  стоит, как следует из доказанного, в строке, содержащей число 1. Итак, каждому числу из столбца, содержащего N², соответствует на единицу большее число из строки, содержащей 1. Исключение составляет лишь N². Кроме того, число 1 также не имеет себе пары в столбце. Следовательно, искомая разность равна  –1·(N – 1) + N² – 1 = N² – N.


Ответ

На  N2N.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 22
Год 1959
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .