ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 78184
УсловиеВ квадратную таблицу N×N записаны все целые числа по следующему закону: 1 стоит на любом месте, 2 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 1, 3 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 2, и так далее. На сколько сумма чисел в столбце, содержащем N², отличается от суммы чисел в строке, содержащей 1. Решение Будем обозначать клетку, находящуюся на пересечении строки a и
столбца b, через (а, b). Каждое из чисел 1, 2, ..., N встречается в такой записи всех клеток ровно 2N раз: N раз как номер столбца и N раз как номер строки. Пусть 1 стоит в клетке (а, х). Номер строки, в которой стоит 2, по условию, равен номеру столбца, содержащего 1, то есть х. Значит, 2 стоит в клетке (х, у). Далее, 3 стоит в клетке (у, z) и так далее; наконец, N² стоит в некоторой клетке (m, n). Ясно, что номер а встречается внутри (то есть не на первом и не на последнем месте) цепочки (а, х) → (х, у) → (у, z) → ... → (m, n) чётное число раз. Так как при этом а стоит в начале цепочки и всего встречается чётное число (2N) раз, то этот номер должен стоять и в конце цепочки: n = а. Итак, строка, содержащая 1, имеет тот же номер, что и столбец,
содержащий N². ОтветНа N2 – N. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|