|
|
 |
Условие
Даны сто чисел x1, x2,..., x100, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей xk+1 – xk меньше 1/50 каждая.
Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.
Решение
Без ограничения общности можно считать, что x1 + x3 + ... + x99 ≥ ½ ≥ x2 + x4 + ... + x100. Будем менять в наборах x2i–1 с x2i, начиная с
i = 1, пока знак неравенства не изменится. Такое когда-нибудь произойдёт, поскольку в конце концов наборы поменяются местами. Пусть k таково, что знак неравенства изменился после замены x2k–1 на x2k (1 ≤ k ≤ 50). Поскольку сумма правой и левой частей равна единице, то
sk = x2 + x4 + ... + x2(k–1) + x2k–1 + x2k+1 + ... + x99 ≥ ½, но sk+1 = x2 + x4 + ... + x2(k–1) + x2k + x2k+1 + ... + x99 ≤ ½.
По условию |x2k–1 – x2k| < 1/50, из этого получаем, что |sk+1 – ½| + |sk – ½| = |sk+1 – sk| = |x2k – x2k–1| < 1/50, следовательно, либо |sk+1 – ½|, либо |sk – ½| меньше 1/100, что и требовалось.
