ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78196
Тема:    [ Многоугольники (неравенства) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

n отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2n-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.

Решение

Если в треугольнике ABC угол C не меньше $ \pi$/n, то

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C$\displaystyle \ge$a2 + b2 - 2ab cos$\displaystyle {\frac{\pi}{n}}$$\displaystyle \ge$(a2 + b2)(1 - cos$\displaystyle {\frac{\pi}{n}}$).

Предположим, что все стороны рассматриваемого 2n-угольника меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1. Тогда квадрат длины любой стороны меньше $ {\frac{1}{2}}$(1 - cos$ {\frac{\pi}{n}}$). Прямые, проходящие через данные отрезки, делят плоскость на 2n углов, поэтому наибольший из этих углов не меньше $ {\frac{\pi}{n}}$. Рассмотрим два данных отрезка, образующих этот угол. Концы этих отрезков соединяют две стороны 2n-угольника, лежащие против углов, не меньших $ {\frac{\pi}{n}}$. Поэтому сумма квадратов длин этих сторон не меньше, чем сумма квадратов длин четырёх отрезков, на которые выбранные отрезки делятся точкой пересечения, умноженная на 1 - cos$ {\frac{\pi}{n}}$. С другой стороны, согласно предположению сумма квадратов длин двух сторон 2n-угольника меньше 1 - cos$ {\frac{\pi}{n}}$. Поэтому сумма квадратов длин четырёх отрезков, на которые выбранные отрезки делятся точкой их пересечения, меньше 1. Но этого не может быть, поскольку отрезок длины 1 делится на отрезки x и 1 - x, а x2 + (1 - x)2 = 2(x - $ {\frac{1}{2}}$)2 + $ {\frac{1}{2}}$$ \ge$$ {\frac{1}{2}}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 22
Год 1959
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .