ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 78196
Условиеn отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2n-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.РешениеЕсли в треугольнике ABC угол C не меньше /n, то
c2 = a2 + b2 - 2ab cos Ca2 + b2 - 2ab cos(a2 + b2)(1 - cos).
Предположим, что все стороны рассматриваемого 2n-угольника меньше стороны
правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1. Тогда квадрат
длины любой стороны меньше
(1 - cos). Прямые,
проходящие через данные отрезки, делят плоскость на 2n углов, поэтому
наибольший из этих углов не меньше
. Рассмотрим два данных
отрезка, образующих этот угол. Концы этих отрезков соединяют две стороны
2n-угольника, лежащие против углов, не меньших
. Поэтому
сумма квадратов длин этих сторон не меньше, чем сумма квадратов длин
четырёх отрезков, на которые выбранные отрезки делятся точкой пересечения,
умноженная на
1 - cos. С другой стороны, согласно предположению
сумма квадратов длин двух сторон 2n-угольника меньше
1 - cos.
Поэтому сумма квадратов длин четырёх отрезков, на которые выбранные отрезки
делятся точкой их пересечения, меньше 1. Но этого не может быть, поскольку
отрезок длины 1 делится на отрезки x и 1 - x, а
x2 + (1 - x)2 = 2(x - )2 + .
Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|