Задача 78207

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

M и N — точки пересечения двух окружностей с центрами O₁ и O₂. Прямая O₁M пересекает 1-ю окружность в точке A₁, а 2-ю в точке A₂. Прямая O₂M пересекает 1-ю окружность в точке B₁, а 2-ю в точке B₂. Доказать, что прямые A₁B₁, A₂B₂ и MN пересекаются в одной точке.

Решение

Покажем прежде всего, что точки A₁, N и B₂ лежат на одной прямой. В самом деле,

A₁NB₂ = A₁NM + B₂NM.

Но углы A₁NM и B₂NM — прямые, так как опираются на диаметры. Итак, A₁NВ₂ = 180⁰, т. е. точка N лежит на отрезке A₁В₂. Рассмотрим теперь треугольник A₁MВ₂. Поскольку углы A₁B₁M и B₂A₂M — прямые (они опираются на диаметры), а угол MNB₂, как показано выше, — тоже прямой, то прямые MN, A₁B₁ и A₂В₂ являются высотами в рассматриваемом треугольнике A₁MB₂. Следовательно, эти три прямые пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	23
Год	1960
вариант
	1
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	4