Информация о задаче

Задача 78220

Тема:

[

Принцип крайнего (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 11

Прислать комментарий

Условие

Даны числа $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , причём для всех натуральных нечётных n имеет место равенство

$\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0.

Доказать, что те из чисел $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

Решение

Расположим числа $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , ..., $\alpha_{k}^{}$ в порядке убывания их абсолютных величин:

$\displaystyle \beta_{1}^{}$ , $\displaystyle \beta_{2}^{}$ ,..., $\displaystyle \beta_{k}^{}$ ; | $\displaystyle \beta_{1}^{}$ | $\displaystyle \ge$ | $\displaystyle \beta_{2}^{}$ | $\displaystyle \ge$ ... $\displaystyle \ge$ | $\displaystyle \beta_{k}^{}$ |,

и соотношение

$\displaystyle \beta_{1}^{n}$ + $\displaystyle \beta_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \beta_{k}^{n}$ = 0

разделим на $\beta_{1}^{n}$ :

1 + $\displaystyle \Bigl($ $\displaystyle {\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}}$ $\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ + ... + $\displaystyle \Bigl($ $\displaystyle {\frac{\beta_{k}}{\beta_{1}}}$ $\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ = 0.

(1)

Обозначим через $\beta_{l+1}^{}$ первое число, абсолютная величина которого отлична от абсолютной величины числа $\beta_{1}^{}$ :

| $\displaystyle \beta_{1}^{}$ | = | $\displaystyle \beta_{2}^{}$ | = ... = | $\displaystyle \beta_{l}^{}$ | > | $\displaystyle \beta_{l+1}^{}$ | $\displaystyle \ge$ ... $\displaystyle \ge$ | $\displaystyle \beta_{k}^{}$ |.

Соотношение (1) перепишется тогда таким образом:

±1±1±...±1 + $\displaystyle \Bigl($ $\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$ $\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ + ... + $\displaystyle \Bigl($ $\displaystyle {\frac{\beta_{k}}{\beta_{1}}}$ $\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ = 0.

(2)

Выберем теперь n столь большим, чтобы $\displaystyle \Bigl($ $\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$ $\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ было меньше, чем $\displaystyle {\frac{1}{2(k-l)}}$ ; это всегда можно сделать, так как последовательность

$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$ , $\displaystyle \Bigl($ $\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$ $\displaystyle \Bigr)^{2}_{}$ , ..., $\displaystyle \Bigl($ $\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$ $\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ ,...

представляет собой убывающую геометрическую прогрессию (заметим, что | $\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$ | < 1). При таком выборе n абсолютная величина суммы

S = $\displaystyle \Bigl($ $\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$ $\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ + ... + $\displaystyle \Bigl($ $\displaystyle {\frac{\beta_{k}}{\beta_{1}}}$ $\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$

будет, очевидно, меньше $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . Ясно теперь, что количество +1 и -1 в равенстве (2) должно быть одинаковым, так как сумма S, меньшая $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ по абсолютной величине, не сможет компенсировать избытка, представляющего собой (положительное или отрицательное) целое число. Итак, числа, равные по абсолютной величине числу $\beta_{1}^{}$ , разбиваются на пары в соответствии с утверждением задачи. Исключив эти числа из рассмотрения (что возможно, так как их сумма равна 0), мы проведём точно те же рассуждения для оставшихся чисел и так далее, пока не исчерпаем всех чисел.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	23
Год	1960
вариант
	1
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	5