Условие
Даны 4 точки: A, B, C, D. Найти такую точку O, что сумма расстояний
от неё до данных точек минимальна.
РешениеПри решении задачи могут представиться три возможности.
- Точки A, B, C, D образуют выпуклый четырёхугольник. В этом
случае для любой точки M имеем неравенства:
MA + MC |
AC, |
(83) |
MB + MD |
BD, |
(84) |
складывая которые, мы убедимся в том, что искомой точкой является точка
пересечения диагоналей AC и BD. (Для этой точки сумма расстояний до
вершин как раз равна AC + BD; для всех остальных точек эта сумма, как мы
видим, больше).
- Точки A, В, С, D не образуют выпуклого
четырёхугольника, но не лежат на одной прямой. В этом случае одна из
точек — пусть это будет D — лежит внутри или на стороне треугольника,
образованного тремя остальными точками.
Пусть точка M лежит внутри или на стороне треугольника BDC (если бы точка
M лежала внутри или на стороне треугольника ABD или ACD, рассуждение
было бы аналогичным). Проведём прямую AM и рассмотрим ту из вершин В,
С, которая лежит по ту же сторону от прямой AM, что и точка D; пусть
это будет вершина С. Тогда
AM + СМ |
AD + CD, |
(85) |
DM + BM |
BD. |
(86) |
Складывая эти неравенства, мы обнаружим,
что
AM + BM + СМ + DMAD + BD + CD,
т. е. для точки D исследуемая
сумма минимальна.
Если точка D лежит по ту же сторону от прямой AM, что и вершина В, то
написанные неравенства заменяются следующими:
AM + BMAD + BD, DM + CMCD,
откуда, складывая, получаем то же соотношение. Если точка
D лежит на прямой AM, то применимы любые из написанных неравенств. Итак,
во втором случае искомая точка — точка D.
- Точки A, В, С и D лежат на одной прямой. Пусть,
например, точки С и D лежат между A и В; тогда искомой точкой будет
любая точка M отрезка CD (для любой такой точки M сумма
AM + BM + CM + DM
равна AB + CD; для точки M, не лежащей на отрезке CD, эта сумма, как
легко видеть, больше).
Источники и прецеденты использования
|