ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78221
Тема:    [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны 4 точки: A, B, C, D. Найти такую точку O, что сумма расстояний от неё до данных точек минимальна.

Решение

При решении задачи могут представиться три возможности.

  1. Точки A, B, C, D образуют выпуклый четырёхугольник. В этом случае для любой точки M имеем неравенства:

    MA + MC $\displaystyle \ge$AC, (83)
    MB + MD $\displaystyle \ge$BD, (84)

    складывая которые, мы убедимся в том, что искомой точкой является точка пересечения диагоналей AC и BD. (Для этой точки сумма расстояний до вершин как раз равна AC + BD; для всех остальных точек эта сумма, как мы видим, больше).
  2. Точки A, В, С, D не образуют выпуклого четырёхугольника, но не лежат на одной прямой. В этом случае одна из точек — пусть это будет D — лежит внутри или на стороне треугольника, образованного тремя остальными точками. Пусть точка M лежит внутри или на стороне треугольника BDC (если бы точка M лежала внутри или на стороне треугольника ABD или ACD, рассуждение было бы аналогичным). Проведём прямую AM и рассмотрим ту из вершин В, С, которая лежит по ту же сторону от прямой AM, что и точка D; пусть это будет вершина С. Тогда

    AM + СМ $\displaystyle \ge$AD + CD, (85)
    DM + BM $\displaystyle \ge$BD. (86)

    Складывая эти неравенства, мы обнаружим, что

    AM + BM + СМ + DM$\displaystyle \ge$AD + BD + CD,

    т. е. для точки D исследуемая сумма минимальна. Если точка D лежит по ту же сторону от прямой AM, что и вершина В, то написанные неравенства заменяются следующими:

    AM + BM$\displaystyle \ge$AD + BD,    DM + CM$\displaystyle \ge$CD,

    откуда, складывая, получаем то же соотношение. Если точка D лежит на прямой AM, то применимы любые из написанных неравенств. Итак, во втором случае искомая точка — точка D.
  3. Точки A, В, С и D лежат на одной прямой. Пусть, например, точки С и D лежат между A и В; тогда искомой точкой будет любая точка M отрезка CD (для любой такой точки M сумма AM + BM + CM + DM равна AB + CD; для точки M, не лежащей на отрезке CD, эта сумма, как легко видеть, больше).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 23
Год 1960
вариант
1
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .