Условие
Доказать, что из сторон произвольного четырёхугольника можно сложить трапецию.
Решение
Пусть
а
bс
d. Покажем прежде всего, что можно построить
треугольник со сторонами а -
d,
b, с. Для этого необходимо, чтобы
выполнялись неравенства
| a - d |
< b + c, |
(1) |
| b < a |
- d + c, |
(2) |
| c < a |
- d + b. |
(3) |
Неравенство (1)
равносильно неравенству
a < b + c + d,
которое выполнено, так как а,
b,
с,
d — стороны четырёхугольника (в многоугольнике каждая сторона
меньше суммы всех остальных). Так как
b
а,
с -
d 0 (в силу наших
предположений о числах а,
b, с,
d), то выполнено и неравенство
(2). Аналогично, неравенство (3) следует из того, что с
а,
b -
d 0. Построив теперь треугольник со сторонами
a -
d,
b,
с, мы легко достроим его до трапеции со сторонами а,
b, с,
d:
нужно продолжить сторону а -
d на отрезок
d (в любую сторону, например,
за конец стороны с) и на отрезках
c,
d построить параллелограмм.
Источники и прецеденты использования
