Условие
Доказать, что любой несамопересекающийся пятиугольник лежит по одну сторону от
хотя бы одной своей стороны.
Решение
Будем обходить границу пятиугольника
ABCDE
так, чтобы его внутренность оставалась все время слева. При обходе мы делаем
повороты направо или налево. Если мы делаем поворот направо, то внутренний
угол в такой вершине больше
180
o, а если — поворот налево, то
внутренний угол меньше
180
o. Так как сумма углов пятиугольника равна
540
o, то правых поворотов может быть не больше двух: если бы их было
три, то сумма углов пятиугольника была бы больше
540
o. Значит, левых
поворотов будет не меньше трёх, и поэтому хотя бы два из них обязательно идут
подряд. Пусть такие левые повороты произошли в двух вершинах
A и В. Тогда
стороны
AE и
BC лежат по одну сторону от прямой
AB.
Если точка
D лежит в той же полуплоскости (относительно прямой
AB), что
отрезки
AE и
BC, то, очевидно, сторона
AB — искомая. Пусть точка
D
лежит по другую сторону от прямой
AB. Тогда прямые
AD и
BD разбивают
верхнюю полуплоскость на три части. Вершины
C и
E могут, очевидно, лежать
только в 1-й и 3-й частях, так как иначе пятиугольник был бы
самопересекающимся. Если точки С и
E лежат в разных частях, то нас
удовлетворит любая из сторон:
CD или
DE. Если же точки
C и
E лежат в
одной части, то обе стороны,
CD и
DE, пересекают прямую
AB по одну
сторону от отрезка
AB и нас удовлетворит та сторона, точка пересечения
которой с прямой
AB отстоит дальше от ближайшего конца отрезка.
Источники и прецеденты использования
