ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78225
Темы:    [ Системы точек ]
[ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каково наибольшее n, при котором так можно расположить n точек на плоскости, чтобы каждые 3 из них служили вершинами прямоугольного треугольника?

Решение

Выберем из всех отрезков, соединяющих (попарно) все точки, наибольший (или один из наибольших) и обозначим его через AB. Очевидно, что во всех треугольниках, содержащих точки A и В как вершины, отрезок AB (как наибольший) должен лежать против прямого угла. Таким образом, все рассматриваемые точки лежат на окружности с диаметром AB. Пусть С — одна из точек. Выясним, где может лежать ещё одна точка D, если она существует. В треугольнике ACD угол ACD не прямой, так как иначе точка D совпадала бы с точкой В. Далее, $ \angle$ADC$ \ne$90o, так как он опирается на хорду AC, не являющуюся диаметром. Следовательно, в треугольнике ACD прямым должен быть угол DAC; отсюда следует, что CD — диаметр. Итак, если кроме A, В, С есть ещё точки, то любая из них должна совпадать с концом диаметра, проходящего через точку С, откуда ясно, что наибольшее возможное значение n равно 4 (четыре точки расположены в вершинах прямоугольника). (Решение из книги [#!Leman!#].)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 23
Год 1960
вариант
1
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .