ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78226
Темы:    [ Четность и нечетность ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через  (a, b)  поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля  (a, b)  может сделать ход на любое из восьми полей:  (a ± m, b ± n),  (a ± n, b ± m),  где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.


Решение

  Пусть p – разность между количеством ходов вида  (a + m, b + n)  и количеством ходов вида  (a – m, b – n),  q – вида  (a – m, b – n)  и  (a – m, b + n),  r – вида  (a + n, b + m)  и  (a – n, b – n),  s – вида  (a + n, b – m)  и  (a – n, b + n).  Разность двух чисел имеет ту же чётность, что и их сумма, поэтому чётность числа  p + q + r + s  совпадает с чётностью x.
  Поскольку фишка вернулась на исходное поле, то  (p + q)m + (r + s)n = 0,  (p – q)n + (r – s)m = 0.  Значит,  p+q/r+s = r–s/p–q,  то есть  p² – q² – r² + s² = 0.  Чётность левой части совпадает с чётностью суммы  p + q + r + s,  то есть эта сумма чётна. Следовательно, и x чётно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 23
Год 1960
вариант
1
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .