Условие
Имеется 100 точек на плоскости, причём расстояние между любыми двумя из них
не превосходит 1, и если
A,
B,
C — любые три точки из данных, то треугольник
ABC — тупоугольный. Доказать, что можно провести такую окружность радиуса
1/2, что все данные точки лежат внутри неё или на ней самой.
Решение
Выберем среди данных точек две точки
A и
B, расстояние между которыми
наибольшее (если таких пар точек несколько, то берём любую из них). Если
C
-- любая из данных точек, то в треугольнике
ABC тупым может быть только
угол при вершине
C. Поэтому точка
C лежит внутри окружности с диаметром
AB.
Источники и прецеденты использования
