ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78248
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что можно так расположить числа от 1 до n² в таблицу n×n, чтобы суммы чисел каждого столбца были равны.


Решение

Сначала расставим числа так: в первую строчку 1, 2, ..., n, во вторую  n + 1,  n + 2,  ...,  n + n,  и т.д. Тогда в k-й строчке будут стоять числа  (k – 1)n + 1,
(k – 1)n + 2,  ...,  (k – 1)n + n,  а значит, в j-м столбце – j,  n + j,  ...,  (n – 1)n + j.  Эта таблица ещё не удовлетворяет условию задачи, поэтому в каждой сточке этой таблицы сдвинем все числа по кругу на номер строки. Теперь сумма чисел в каждом столбце представима в виде  n + 2n + ... + (n – 1)n + 1 + 2 + ... + n,  поскольку в эту сумму входит ровно по одному числу из каждого столбца и каждой строки первоначальной таблицы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .