Задача 78249

Темы:    [ Обратный ход ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В автобусе без кондуктора едут 4k пассажиров. У каждого из них есть только монеты в 10, 15, 20 копеек. Доказать, что если общее число монет меньше 5k, то пассажиры не смогут правильно расплатиться за проезд. Для числа монет 5k построить пример, когда возможен правильный расчет. Примечание. Проезд в автобусе стоит 5 копеек.

Решение

Так как проезд в автобусе стоит 5 копеек, а ни у кого из пассажиров, по условию, нет монет мельче 10 копеек, то после оплаты проезда каждый пассажир должен получить сдачу, т. е. после оплаты проезда у каждого на руках должна остаться хотя бы одна монета. Таким образом, после оплаты на руках у пассажиров должно остаться не меньше, чем 4k монет. Вместе с тем стоимость проезда 4k пассажиров составляет 20k копеек, и для её оплаты даже 20-копеечными монетами (самыми крупными из имеющихся) потребовалось бы не меньше, чем k монет. Значит, в кассу автобуса будет опущено не меньше k монет, и общее необходимое количество монет равно 5k. Нам осталось построить пример правильной оплаты проезда при наличии у пассажиров ровно 5k монет. Разобьём пассажиров на k групп по 4 человека и пусть в каждой группе деньги распределены следующим образом:

1-й пассажир:	15 коп.;
2-й пассажир:	10 + 10 коп.;
3-й пассажир:	15 коп.;
4-й пассажир:	20 коп.

(5 монет на каждую группу из 4 человек; всего, значит, 5k монет). Расчёт в группе происходит следующим образом:

1-й	получает	10 коп.	взамен	15 коп.;
2-й	''	15 коп.	''	20 коп.;
3-й	''	10 коп.	''	15 коп.;
4-й	''	15 коп.	''	20 коп.

В кассу опущено 20 коп. за четырёх пассажиров. (Решение из книги [#!Leman!#].)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	24
Год	1961
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	4