Условие
Окружность
S и точка
O лежат в одной плоскости, причём
O находится вне
окружности. Построим произвольный шар, проходящий через окружность
S, и
опишем конус с вершиной в точке
O и касающийся шара. Найти геометрическое
место центров окружностей, по которым конусы касаются шаров.
Решение
Рассмотрим плоскость
P, проходящую через точку
O и центр
окружности
S перпендикулярно
данной плоскости. Из соображений симметрии ясно, что
искомое ГМТ лежит в построенной
плоскости
P. Пусть
A - точка, инверсная точке
O
относительно окружности
S. Пусть
X -
произвольная точка нашего ГМТ. Легко проверить, что угол
AXO - прямой. Поэтому искомое
ГМТ - окружность, построенная на отрезке
OA как на
диаметре, лежащая в плоскости
P,
за исключением точки
O.
Источники и прецеденты использования
