Условие
Коля и Петя делят 2
n + 1 орехов,
n
2, причём каждый хочет получать
возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три
этапа).
1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.
2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного
ореха.
1-й и 2-й этапы общие для всех трёх способов.
3-й этап: При первом способе Коля берёт большую и меньшую части;
При втором способе Коля берёт обе средние части;
При третьем способе Коля берёт либо большую и меньшую части, либо обе средние
части, но за право выбора отдаёт Пете один орех.
Определить, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для
него.
Решение
Покажем, что первый способ для Коли – наиболее выгодный,
а остальные 2 – наименее выгодные.
Докажем, что при первом способе дележа Коля может
гарантировать себе хотя бы
n+1 орех,
а Петя – хотя бы
n орехов. Тем самым при наилучших
действиях каждой из сторон
Коля получит ровно
n+1 орех.
Стратегия Коли такова: разделить каждую из Петиных частей
на две части, одна из
которых содержит ровно 1 орех. В этом случае, на какие бы
две части не разделил
Петя исходное количество, Коля заведомо получит хотя бы
n+1 орех.
Стратегия Пети такова: разделить все орехи на части из
n
и из
n+1 орехов. Легко
проверить, что независимо от действий Коли Пете
достанется не меньше
n орехов.
Действительно, пусть a - наибольшая часть. Тогда есть
часть
b, для которой
a+
b=
n+1 или
n.
Но Коля получил заведомо не более
a+
b орехов, значит Пете
остается не менее
n.
Докажем теперь, что при втором способе дележа Коля может
гарантировать себе хотя бы
n орехов, а Петя – хотя бы
n+1 орех.
Действительно, стратегия Пети такова: разделить все орехи
на две части: из 2
n-1 и из 2
орехов. Тогда Пете останется не менее
n+1 ореха.
Стратегия Коли: разделить обе Петины части примерно
пополам, то есть так, чтобы
число орехов в соответствующих частях либо совпадало,
либо отличалось ровно на 1.
Тогда Коля гарантирует себе
n орехов.
При третьем способе дележа Коля гарантирует себе
n
орехов, а Петя –
n+1 орехов. Стратегии
такие же, как в первом случае.
Источники и прецеденты использования
