Задача 78273

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дана прямая l, перпендикулярная отрезку AB и пересекающая его. Для любой точки M прямой l строится такая точка N, что NAB = 2MAB; NBA = 2MBA. Доказать, что абсолютная величина разности AN - BN не зависит от выбора точки M на прямой l.

Решение

Для каждой точки M можно построить две точки N, симметричных относительно прямой AB. Разность AN - BN для обеих точек одна и та же, поэтому можно считать, что точки M и N лежат по одну сторону от прямой AB. Тогда точка M является центром вписанной окружности треугольника ANB. Поэтому AN - BN = AK - BK, где K — точка касания вписанной окружности со стороной AB, т.е. точка пересечения прямых AB и l. Точка K не зависит от выбора точки M, поэтому разность AN - BN тоже не зависит от выбора точки M.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	25
Год	1962
вариант
	1
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	1