Задача 78291

Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ] [ Системы точек ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

Решение

Пусть х — любая из заданных 25 точек. Если все точки находятся от х на расстоянии, меньшем 1, то нам нечего доказывать. В противном случае обозначим через у какую-нибудь точку, расстояние которой от х больше или равно 1. Пусть z — любая из остальных 23 точек. В треугольнике xyz, по условию, есть сторона, меньшая 1. Так как расстояние между х и у больше или равно 1, то этой стороной должна быть или xz, или уz. Итак, каждая точка z из остальных двадцати трёх либо лежит в круге радиуса 1 с центром в х (если сторона xz меньше 1), либо в таком же круге с центром в у. Ясно, что при этом не меньше 12 точек попадёт в один круг, например в круг с центром в точке у (если бы в каждый круг попало меньше 12 точек, то общее количество точек было бы меньше 25). Но в таком случае точка у и 12 точек из круга радиуса 1 с центром в этой точке — искомые. (Решение из книги [#!Leman!#].)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	25
Год	1962
вариант
	1
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	5