Условие
Дан произвольный треугольник
ABC. Найти множество всех таких точек
M, что
перпендикуляры к прямым
AM,
BM,
CM, проведённые из точек
A,
B,
C
(соответственно), пересекаются в одной точке.
Решение
Ответ: описанная окружность треугольника
ABC, за исключением его вершин.
Предположим, что указанные перпендикуляры пересекаются в точке
M'. Тогда
точки
A,
B и
C лежат на окружности с диаметром
MM'. Следовательно,
точка
M лежит на описанной окружности треугольника
ABC.
Предположим теперь, что точка
M лежит на описанной окружности треугольника
ABC и отлична от его вершин. Тогда указанные перпендикуляры пересекаются в
точке
M', диаметрально противоположной точке
M.
Источники и прецеденты использования
