ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 78485
УсловиеПоложительные числа x, y, z обладают тем свойством, что
arctg x + arctg y + arctg z < .
Доказать, что сумма этих чисел больше их произведения.
РешениеПусть = arctg x, = arctg y, = arctg z, тогда + + < и, кроме того, 0 < ,, < , поскольку 0 < x, y, z, а значит, и cos, cos, cos > 0. Так же получаем, что
x + y + z - xyz = tg + tg + tg - tgtgtg.
Поскольку
cos, cos, cos > 0, обе части равенства можно
домножить на произведение косинусов. Получаем, что надо доказать, что
sincoscos + cossincos + coscossin - sinsinsin > 0.(*)
Левая часть равенства (*) равна
sin( + + ).
В этом можно убедиться, дважды применив формулу синуса
суммы.
Поскольку 0 < + + < , получаем, что sin( + + ) > 0, тем самым доказано неравенство (*). Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|