ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78485
Темы:    [ Тригонометрические неравенства ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Обратные тригонометрические функции ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Положительные числа x, y, z обладают тем свойством, что

arctg x + arctg y + arctg z < $\displaystyle \pi$.

Доказать, что сумма этих чисел больше их произведения.

Решение

Пусть $ \varphi_{1}^{}$ = arctg x, $ \varphi_{2}^{}$ = arctg y, $ \varphi_{3}^{}$ = arctg z, тогда $ \varphi_{1}^{}$ + $ \varphi_{2}^{}$ + $ \varphi_{3}^{}$ < $ \pi$ и, кроме того, 0 < $ \varphi_{1}^{}$,$ \varphi_{2}^{}$,$ \varphi_{3}^{}$ < $ {\frac{\pi}{2}}$, поскольку 0 < x, y, z, а значит, и cos$ \varphi_{1}^{}$, cos$ \varphi_{2}^{}$, cos$ \varphi_{3}^{}$ > 0. Так же получаем, что

x + y + z - xyz = tg$\displaystyle \varphi_{1}^{}$ + tg$\displaystyle \varphi_{2}^{}$ + tg$\displaystyle \varphi_{3}^{}$ - tg$\displaystyle \varphi_{1}^{}$tg$\displaystyle \varphi_{2}^{}$tg$\displaystyle \varphi_{3}^{}$.

Поскольку cos$ \varphi_{1}^{}$, cos$ \varphi_{2}^{}$, cos$ \varphi_{3}^{}$ > 0, обе части равенства можно домножить на произведение косинусов. Получаем, что надо доказать, что

sin$\displaystyle \varphi_{1}^{}$cos$\displaystyle \varphi_{2}^{}$cos$\displaystyle \varphi_{3}^{}$ + cos$\displaystyle \varphi_{1}^{}$sin$\displaystyle \varphi_{2}^{}$cos$\displaystyle \varphi_{3}^{}$ + cos$\displaystyle \varphi_{1}^{}$cos$\displaystyle \varphi_{2}^{}$sin$\displaystyle \varphi_{3}^{}$ - sin$\displaystyle \varphi_{1}^{}$sin$\displaystyle \varphi_{2}^{}$sin$\displaystyle \varphi_{3}^{}$ > 0.(*)

Левая часть равенства (*) равна sin($\displaystyle \varphi_{1}^{}$ + $\displaystyle \varphi_{2}^{}$ + $\displaystyle \varphi_{3}^{}$). В этом можно убедиться, дважды применив формулу синуса суммы.

Поскольку 0 < $ \varphi_{1}^{}$ + $ \varphi_{2}^{}$ + $ \varphi_{3}^{}$ < $ \pi$, получаем, что sin($ \varphi_{1}^{}$ + $ \varphi_{2}^{}$ + $ \varphi_{3}^{}$) > 0, тем самым доказано неравенство (*).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 26
Год 1963
вариант
1
Класс 11
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .