ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78486
Темы:    [ Четность и нечетность ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 3+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.


Решение

Сумма векторов, отвечающих какому-нибудь прохождению звеньев замкнутой ломаной, равна нулю. Каждый из них равен по модулю и направлению одному из векторов  ± ai,  где    а точки Bi лежат на прямой l. Таким образом, достаточно доказать, что
  ≠ 0  для любого набора  εi = ±1.  Рассмотрим проекцию любой такой комбинации на прямую m, перпендикулярную l. Пусть h – расстояние от точки A до прямой l, тогда проекция  εiai  равна εih. А значит, проекция вектора     равна     ≠ 0,
поскольку  εi = ±1  и векторов нечётное число. Тем более      ≠ 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 26
Год 1963
вариант
1
Класс 11
Тур 1
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .