Задача 78498

Темы:    [ Площадь треугольника (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Псевдоскалярное произведение ] [ Формулы для площади треугольника ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Дан произвольный треугольник ABC и точка X вне его. AM, BN, CQ — медианы треугольника ABC. Доказать, что площадь одного из треугольников XAM, XBN, XCQ равна сумме площадей двух других.

Решение

Пусть a, b, c, x – векторы, идущие из точки пересечения медиан треугольника ABC в точки A, B, C и X соответственно. Тогда ориентированные площади треугольников XAM, XBN и XCQ равны проекциям векторных произведений [a-x,a-(b+c)/2]/2 [b-x,b-(a+c)/2]/2 и [c-x,c-(b+a)/2]/2 соответственно на перпендикуляр к плоскости треугольника. Из равенства a+b+c=0 легко получаем, что сумма этих трех проекций равна нулю. Значит, сумма ориентированных площадей наших треугольников также равна нулю. Значит, сумма модулей каких-то двух площадей равна модулю третьей.

Замечание. Условие, что X лежит вне треугольника ABC – лишнее.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	26
Год	1963
вариант
	1
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	1