Информация о задаче

Задача 78511

Тема:

[

Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников

]

Сложность: 2+
Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC высоты, опущенные на стороны AB и BC, не меньше этих сторон соответственно. Найти углы треугольника.

Решение

Ответ: $\angle$ B = 90^o, $\angle$ A = $\angle$ C = 45^o. Пусть CH и AK — высоты треугольника ABC. По условию CH $\ge$ AB и AK $\ge$ BC. А так как перпендикуляр короче наклонной, то AB $\ge$ AK и BC $\ge$ CH. Объединяя все эти неравенства, получаем CH $\ge$ AB $\ge$ AK $\ge$ BC $\ge$ CH. Следовательно, все эти неравенства обращаются в равенства. В частности, AB = BC, т.е. треугольник равнобедренный. Кроме того, равенство AB = AK означает, что высота AK совпадает со стороной AB, т.е. $\angle$ B = 90^o.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	1


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	1