Задача 78521

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел не является степенью никакого целого числа.

Решение

Предположим, что  n(n + 1) = a^m,  где  m ≥ 2  (a, m и n – натуральные числа). Числа n и  n + 1  не имеют общих делителей, поэтому  n = b^m  и  n + 1 = c^m.  Но этого не может быть, потому что разность между двумя последовательными m-ми степенями больше 1.

Замечания

Ср с задачей 34927.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	2