Условие
Даны три точки
A,
B,
C, лежащие на одной прямой, и точка
O вне этой прямой.
Обозначим через
O1,
O2,
O3 центры окружностей, описанных около треугольников
OAB,
OAC,
OBC. Доказать, что точки
O1,
O2,
O3 и
O лежат на одной
окружности.
Решение
Приведем решение только для одного варианта расположения наших точек, в остальных
случаях решение аналогично. Пусть
A1 ,
B1 и
C1 – середины отрезков
OA ,
OB и
OC соответственно. Тогда четырехугольники
OO1A1B1 ,
OO2A1C1
и
OO3C1B1 – вписанные. Поэтому
O2OO1= O2OA1+ A1OO1=
O2C1A1+ A1B1O1= O3B1C1+ O3C1B1= O1O3O2 ,
следовательно
OO1O2O3 – вписанный четырехугольник.
Источники и прецеденты использования
