Условие
Доказать, что любое чётное число 2
n
0 может быть единственным образом
представлено в виде
2
n = (
x +
y)
2 + 3
x +
y, где
x и
y — целые неотрицательные
числа.
Решение
Занумеруем точки с целыми неотрицательными координатами (
x,
y) в следующем
порядке:
(0, 1), (1, 0), (0, 2), (1, 1), (2, 0), (0, 3), (1, 2), (2, 1),
(3, 0), (0, 4) и т.д. Докажем, что точка с координатами (
x,
y) имеет
номер
n =
. Для первой точки это очевидно.
Предположим, что требуемое утверждение доказано для точки с номером
n.
Пусть
n-я точка имеет координаты (
x,
y). Рассмотрим два случая.
1. Пусть
y
0. Тогда (
n + 1)-я точка имеет координаты
(
x',
y') = (
x + 1,
y - 1).
Ясно, что
=
=
n + 1.
2. Пусть
y = 0. Тогда (
n + 1)-я точка имеет координаты
(
x',
y') = (0,
x + 1).
Ясно, что
Источники и прецеденты использования
